1.5
Persamaan Lingkaran dan Parabola
Lingkaran
-
Bentuk baku persamaan lingkaran: $$\boxed{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2}$$
dimana $(x_0,y_0)$ pusat lingkaran dan $r$ jari-jari lingkaran.
- Bentuk lain persamaan lingkaran: $$\boxed{Ax^2+Ay^2+Dx+Ey+F=0}$$ dimana $A,D,E$ dan $F$ konstanta, serta $A\neq 0$.
-
Kasus degenerasi dari lingkaran: $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=k$$ bergantung
pada nilai $k$.
- $k>0$: persamaan lingkaran dengan pusat $(x_0,y_0)$ dan jari-jari $\sqrt{k}$.
- $k=0$: titik tunggal $(x_0,y_0)$.
- $k<0$: tidak memiliki penyelesaian real sehingga bukan lingkaran.
Teorema 1.5.1.Suatu persamaan dalam bentuk $$Ax^2+Ay^2+Dx+Ey+F=0$$ dengan $A\neq 0$, menyajikan suatu lingkaran, atau suatu titik, atau tidak mempunyai grafik.
Parabola
-
Persamaan kuadrat dalam $x$: $$\boxed{y=ax^2+bx+c}$$ dimana $a\neq0$
dan grafiknya disebut parabola. Bentuk parabola bergantung pada nilai
$a$.
-
$a>0:$
-
$a<0:$
-
$a>0:$
-
Persamaan kuadrat dalam $y$: $$\boxed{x=ay^2+by+c}$$ dimana $a\neq0$
dan grafiknya disebut parabola. Bentuk parabola bergantung pada nilai
$a$.
-
$a>0:$
-
$a<0:$
-
$a>0:$
Contoh 1
Dapatkan persamaan baku lingkaran yang memenuhi syarat berikut.
- Pusat $(-4,8)$; lingkaran menyinggung sumbu-$x$.
- Pusat $(-3,-4)$; lingkaran melalui asal $O(0,0)$.
Pembahasan
- Lingkaran dengan pusat $(-4,8)$ dan menyinggung sumbu-$x$ salah satu titik yang dilaluinya terdapat pada sumbu-$x$ sehingga $y$-nya bernilai $0$ dan berada pada garis vertikal yang sama dengan pusat lingkaran sehingga $x$-nya sama dengan pada titik pusat, yaitu $x=-4$. Dengan demikian, titik pada sumbu-$x$ yang dilalui lingkaran tersebut adalah $(-4,0)$ dan jari-jari dari lingkaran tersebut dapat diperoleh dengan menghitung jarak antara pusat lingkaran dengan titik $(-4,0)$. Karena kedua titik tersebut berada pada garis vertikal yang sama, jarak antara keduanya didapatkan cukup dengan menghitung selisih $y$-nya. Misalkan $y_1=8$ dan $y_2=0$ sehingga jaraknya adalah $|y_1-y_2|=|8-0|=|8|=8$. Oleh karena itu, lingkaran tersebut memiliki titik pusat $(-4,8)$ dengan $x_0=-4$ dan $y_0=-4$, serta jari-jari $r=8$ sehingga persamaan baku lingkaran tersebut adalah \begin{align*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\ (x-(-4))^2+(y-8)^2&=8^2\\ (x+4)^2+(y-8)^2&=64. \end{align*}
- Lingkaran dengan titik pusat $(-3,-4)$ dan melewati titik asal $O(0,0)$ memiliki jari-jari jarak antara kedua titik tersebut. Misalkan $x_1=-3$, $y_1=-4$ dan $x_2=y_2=0$. \begin{align*} d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ &=\sqrt{(0-(-3))^2+(0-(-4))^2}\\ &=\sqrt{3^2+4^2}\\ &=\sqrt{9+16}\\ &=\sqrt{25} &=5 \end{align*} Dengan demikian, lingkaran tersebut memiliki titik pusat $(-3,-4)$ dengan $x_0=-3$ dan $y_0=-4$ dan jari-jari $r=5$ sehingga persamaannya adalah \begin{align*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2&=r^2\\ (x-(-3))^2+(y-(-4))^2&=5^2\\ (x+3)^2+(y+4)^2&=25. \end{align*}
Contoh 2
Dapatkan persamaan dari:
- Setengah bagian atas dari $x^2+y^2+2x-4y+1=0$.
- Setengah bagian kanan dari parabola $y=3-x^2$.
Pembahasan
- Pertama-tama, tuliskan persamaan lingkaran dalam bentuk persamaan bakunya. Perhatikan bahwa \begin{align*} x^2+y^2+2x-4y+1&=0\\ x^2+2x+y^2-4y+1&=0\\ (x^2+2x+1)-1+(y^2-4y+4)-4+1&=0\\ (x+1)^2+(y-2)^2-4&=0\\ (x-(-1))^2+(y-2)^2&=4\\ (x-(-1))^2+(y-2)^2&=2^2 \end{align*} Terlihat bahwa lingkaran memiliki pusat $(-1,2)$ dan jari-jari $r=2$. Untuk mendapatkan setengah bagian atas dari lingkaran, persamaan kemudian dituliskan sebagai $y$ dalam $x$. \begin{align*} (x-(-1))^2+(y-2)^2&=4\\ (y-2)^2&=4-(x-(-1))^2\\ y-2&=\pm \sqrt{4-(x-(-1))^2} \end{align*} Bagian lingkaran yang dicari adalah bagian atas sehingga haruslah $y\geq2$. Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah \begin{align*} y-2&=\sqrt{4-(x-(-1))^2}\\ y&=2+\sqrt{4-(x+1)^2}. \end{align*}
- Untuk mendapatkan bagian kanan dari parabola, persamaan harus dituliskan sebagai $x$ dalam $y$. \begin{align*} y&=3-x^2\\ x^2&=3-y\\ x&=\pm \sqrt{3-y} \end{align*} Bagian parabola yang dicari adalah bagian kanan sehingga $x$ harus bernilai lebih besar atau sama dengan puncaknya. Dari soal, diketahui $a=-1$ dan $b=0$ sehingga puncak dari parabola adalah terletak pada $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2(-1)}=0$. Dengan demikian, persamaan dari bagian kanan parabola adalah $$x=\sqrt{3-y}.$$
Latihan!
Kuis 2016
Dapatkan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan
$x^2+y^2+2x=9$.
Pusat:
Dapatkan persamaan baku lingkaran yang memenuhi syarat berikut.
-
Pusat $(5,8)$; lingkaran menyinggung sumbu-$y$.
Jawab: -
Pusat $(4,-5)$; lingkaran melalui $(1,3)$.
Jawab:
Dapatkan persamaan dari:
-
setengah bagian kiri dari $x^2+y^2-4x+3=0$.
Jawab: -
setengah bagian bawah dari parabola $x=y^2-y-2$.
Jawab: